Если много посетителей на сайте, как будут выглядеть логи
Ровно так, как на программируешь.
будут логи для всех пользователей в перемешку?
В базовом варианте да.
Можно логи для каждого пользователя/запроса писать в отдельный файл (надо помнить, что делать много файлов в одной директории - идея плохая и чистить), можно в логах писать для какого пользователя/запроса/чтоугодно этот лог пишется что бы по этому признаку выбрать логи, как правильно подсказали через grep.
Можно прикрутить более продвинутые средства анализа логов как ELK-stack, если действительно есть необходимость.
Но базовый вариант с grep еще никого не подводил, если правильно писать логи.