Refguser

это ссылка на картинку, думаю врятли это хорошо для моего сайта,

Вот с чего такие мысли?
(другое дело если это паршенный контент в котором твои картинки)

Как удалить эти ссылки?

Никак. (но см выше)

что делать?

Перестать беспокоится по ерунде и заняться продуктивным делом(с). Например развитием сайта, делая его полезным людям.
А ПСы сами разберутся с беками.

Сначала думали, что у нас есть какие-то проблемы и сайты попали под фильтры, но вроде страницы в поиске.

Так вроде или в выдаче (а не "в поиске")? В ТОПе или в Ж..е? А цены конкурентны? А с юзабилити нет проблем (анализировались отказы)?

С этого нужно начинать жалобы на снижения трафика.

Я.маркет и др маркетплейсы конечно заполонили выдачу, но тем не менее мест для ИМов ещё достаточно. Нужно работать с сайтом и ЦА. Тем более после такого:

Все это началось предположительно как в выдаче поменялся дизайн, добавились и переместились товарные блоки и стали активно рекламироваться товары с яндекс маркета. Причем по ценам на уровне оптовых.

(Кто ж в конкурента добавляет цены ниже?)

При правильных действиях просадки трафика может вообще не быть.

Но при этом в Я.вебмастере может отображаться всё что угодно. Не всему стоит верить, нужно проверять.

Намного хуже "малоценная".
А редиректы.. в целом пофик. Если "не правильные" адреса внутренние (генерируются движком, где-то проставлены в контенте и тп), то по возможности стоит от них избавиться. Но нужно понимать какие это адреса, почему и как образовались. И по каждому принимать решение.

Возможности добавление плагинов нет.
Админка пустая.

Если в админке нет возможности установки плагинов - ты не админ и ничего не сделаешь
И даже будь возможность что-то добавить через админку "без плагинов" (будь ты админ) - слишком велики риски поломать сайт.

Для безопасной работы над функционалом нужен не только админ-доступ в админку, но и доступ на ФТП.

Код пробовал вставлять в head(файл header.php), пробовал добавить в footer(footer.php).

Судя по этому доступ по ФТП есть.
И тогда можно вставлять код в header.php или footer.php темы (дочерней темы. если тема не самописная)

У тебя на сервере настроен вилкард-домен.
См записи домена или обратись к хостеру/сисадмину.

ЗЫ. А это ты здорово придумал - публиковать на свой сайт левые ссылки :)