Mrrl

Да, задача не имеет вообще ничего общего с тем, что вы написали вначале. Надо найти число подотрезков - то есть, фрагментов последовательности без пропусков. Ограничения "нельзя удлинять отрезок, если сумма достигла M+1" у них нет - они говорят только, что можно и не удлинять. То, что "воспользуемся модулем", не означает, что надо брать сумму модулей - иначе ответ был бы около 50. Вероятно, имеется в виду, что модуль суммы должен быть больше M (из примера этого понять нельзя, в нём нет отрезка с суммой меньше -8).
Могу сказать, что задача совсем непростая. Грубой силой она не решается (требуется N^2/2 сравнений, в секунду не уложитесь).
Я бы делал так. Взять массив частичных сумм (0, a0, a0+a1, ...). Потом сделать log_2(N) копий этого массива (занумерованных индексом k от 1 до log_2(N)), и в каждом из них отсортировать отрезки длиной 2^k. Для массива из задачи это будет выглядеть так:
S0=S[0]=[0,-2,7,10,16,19,27,26,36,30,37]
S[1]=[-2,0, 7,10, 16,19, 26,27, 30,36, 37]
S[2]=[-2,0,7,10, 16,19,26,27, 30,36,37]
S[3]=[-2,0,7,10,16,19,26,27, 30,36,37]
К сожалению, массивы S[1],S[2],S[3] оказались одинаковыми - это потому, что в примере мало отрицательных чисел.
Имея такие массивы, вы легко ответите на вопрос "сколько чисел в фрагменте массива S0[k+1]..S0[N] не принадлежат диапазону S0[k]-M .. S0[k]+M" (время - log(M)^2). Сумма таких ответов для всех k от 0 до M-1 и даст ответ на задачу. Полное время - M*log(M)^2.
UPD. Лучше бы они писали условие по-английски. Было бы не так стыдно за формулировку.

Мало применяется. В информатике она, скорее всего, понадобится в анализе сложности различных алгоритмов, выборе оптимальной стратегии перебора. В олимпиадном программировании встречается постоянно. В реальной жизни - в основном, когда комбинаторные формулы требуются для расчётов вероятностей, а те, в свою очередь, для проверки статистических гипотез.
Ещё комбинаторика может пригодиться в задачах, связанных со статистической физикой, когда через число состояний оценивается энтропия системы, а через неё - дальнейшее поведение или устойчивость. Возможно, она нужна для алгоритмов вроде сверхбыстрого умножения чисел. Но всё это очень далёкий уровень, при взгляде с которого элементарная комбинаторика уже неотличима от таблицы умножения.

UPD. Можно вспомнить одно место, где комбинаторика требуется в обычных задачах. Это когда у нас есть множество каких-нибудь подмножеств, перестановок, слов над алфавитом, или ещё чего-нибудь, что обычно считает комбинаторика. И мы хотим по элементу этого множества найти его индекс. И наоборот.
Задача возникает не часто, но если возникла, то без комбинаторных формул не обойтись никак.

static int sstep;
       static void FindAll(int N,int sum,int step,bool ord){
            sstep=step;
            sum/=step;
            fill(new int[N],N,sum,sum-N+1,ord);
        }
        static void output(int[] A){
              Console.Write("{0}",A[0]*sstep);
              for(int i=1;i<A.Length;i++) Console.Write("/{0}",A[i]*sstep);
              Console.WriteLine();
        }

        static void fill(int[] A,int N,int sum,int smax,bool ord) {
            if(N==0 && sum==0) {
                output(A);
                return;
            }
            if(N==0 || sum<N) return;
            int smin=ord ? 1 : (sum-1)/N+1;
            N--;
            for(A[N]=smin;A[N]<=smax;A[N]++) {
                fill(A,N,sum-A[N],ord ? sum-N+1 : A[N],ord);
            }
        }

Задаётся A=new int[N], и вызывается fill(A,N,sum,sum-N+1,ord), где N=6, sum=300, ord - true, если с учётом порядка и false, если без учёта. Я проверял для N=5, sum=10 - там число вариантов приемлемо. Насколько я понимаю, для (6,300,true) будет примерно 21 миллиард комбинаций (Comb(299,5)), а для (6,300,false) - не меньше 30 миллионов.

Есть пример для L=22:
0011 1111 1111 1100 0000 00
0000 0000 1111 1111 1111 00
0101 0101 0101 0101 0101 01
1010 1010 1010 1010 1010 10

Здесь «жадный» алгоритм выдаст пару (1,2) — 18 единиц, и уйти из нее уже не удастся, остальные пары кроме (3,4) дают только 17. Так что моя эвристика тоже не работает.