А вы хоть дебаг какой-нибудь делали? console.log на js и var_dump на php? чтоб посмотреть вообще что уходит и что приходит? Может, и вопроса бы не было. Вы ж инпуты посылаете массивом
name="Callback[form]"
а в $_POST ищете НЕ по ключам массива
/* Здесь проверяется существование переменных */
if (isset($_POST['Callback[name]'])) {$name = $_POST['Callback[name]'];}
if (isset($_POST['Callback[phone]'])) {$tel = $_POST['Callback[phone]'];}
По идее структура $_POST будет такая - $_POST['Callback']['name'] и т.д.
