Markiv07

Сейчас код в серверной части после обращения к PUT /create-payment вызывает qiwi(), который ничего не возвращает (возвращает undefined), и это парсится в JSON.parse.

Вы, видимо, хотите отпарсить результат вызова qiwiApi.createBill( billId, fields ). Если это так, тогда исследуйте - как работать с async-функциями и/или использовать Promise.

Если правильно понял то, что вы хотели сделать, то серверный код будет таким:

app.put('/create-payment', async function (req,res,next) {
  const data = await qiwi(); // получаем в data результат вызова qiwiApi.createBill
  const p = JSON.parse(data);
  // тут делаем что-то еще, если нужно
  next(); // т.к. функция асинхронная, вызываем next, чтобы объявить о завершении выполнения этого middleware
});


async function qiwi() {
  const billId = qiwiApi.generateId();

  const fields = {
      amount: 1.00,
      currency: 'RUB',
      comment: 'test',
      expirationDateTime: '2018-03-02T08:44:07',
      successUrl: 'http://test.ru/'
  };

  const data = await qiwiApi.createBill( billId, fields );
  // тут делаем что-то еще, если нужно
  return data; // возвращаем результат вызова qiwiApi.createBill
}

1 Ошибка - https://expressjs.com/en/resources/middleware/cors.html. Документация в помощь.

2 Ошибка - Вы делаете редирект для AJAX запроса, а не для страницы браузера юзера.
Отсылайте линк на редирект ему в json'е, например.
Когда придет ответ, делайте редирект со стороны браузера.