Юрий Кулаксыз

Прочитайте про form request, и уберите в контроллере Validator::make. После основного участка кода пишете

return response()->json(['message' => 'изменено'] ,200);

Таким же образом можете передавать любые параметры в ответе и на клиенте получаете response и обращаетесь к response.data.
У вас в head должно быть мета поле csrf и добавить его значение как header, иначе, просто выбьет ошибку 419.

Нужно добавить в тег формы enctype="multipart/form-data"
Подробнее тут

В Laravel уже реализован прекрасный инструмент, коим вы и пользуетесь и он отлично справляется со своей работой. Никакую job`ы тут не нужны. Если же вас смущает, что в одном методе handle слишком много кода, можно просто создать прослойку вроде UserRepository и тем самым сделать метод более читаемым и отказоустойчивым за счёт разбиения на мелкие компоненты.

https://github.com/niksell/d3js-mysql

Проверь логи. Скорее всего проблема с правами у папки Storage

Готовое решение)

$image = $request->file('avatar');
            $fileName = time() . '.' . $image->getClientOriginalExtension();

            $img1 = Image::make($image->getRealPath());
            $img1->stream(); // <-- Key point
            Storage::disk('local')->put('public/images/avatars/' .auth()->id() . '/' . $fileName.$image->getClientOriginalExtension(), $img1, 'public');

            $img2 = Image::make($image->getRealPath());
            $img2->resize(64, 64, function ($constraint) {
                $constraint->aspectRatio();
            });
            $img2->stream(); // <-- Key point
            Storage::disk('local')->put('public/images/avatars/' .auth()->id() . '/' . $fileName.'_x64'.'.'.$image->getClientOriginalExtension(), $img2, 'public');

            $img3 = Image::make($image->getRealPath());
            $img3->resize(300, 300, function ($constraint) {
                $constraint->aspectRatio();
            });
            $img3->stream(); // <-- Key point
            Storage::disk('local')->put('public/images/avatars/' .auth()->id() . '/' . $fileName.'_x300'.'.'.$image->getClientOriginalExtension(), $img3, 'public');


            $user->avatar = $fileName;
            $user->save();