Keymorfist

Пока с $this все верно. Прочтите разницу между self: и $this. Станет понятнее.
Ко всему хочу добавить следующее - вот так делать не надо:

function ....($name, $balance, $savings, $profession, $income, $despense)

Я так понял вы создаете объект с множеством свойств и устанавливаете их через перечисление в методе. Так делать не стоит - через множественное перечисление в методе. А если завтра свойств будет 10000?
Вот так достаточно:
$object = new Object();
$object->param = "value";
....

Через $this можно/нужно обращаться к переменным и методам внутри класса. Тут всё верно.

Но, один момент меня смущает. Зачем задавать переменным значения по умолчанию, если в конструкторе объекта они всё равно безусловно переопределятся... в этом нет особого смысла, за исключением крайне редких ситуаций, но я думаю, это не тот случай.

$this указывает на текущий экземпляр класса.
Код $this->name = $name; присваивает параметру name у текущего экземпляра объекта, значение $name.
Визуально код выглядит правильно, разве что лучше сразу приучаться называть вещи своими именами - __construct это конструктор а не конструкция)

Ну и на всякий случай php.net/manual/ru/language.oop5.basic.php

Какой jQuery плагин для запуска функции при прокрутке к элементу выбрать?

Первый селект загружается обычным способом, PHP генерит список терминов одного родителя ("Все города"). Далее должен быть ajax - на 'change' событие селекта этих терминов шлешь запрос на admin-ajax.php, создаешь на хук wp_ajax_{your_action} обработчик, которому передаешь ID выбранного термина, и возвращаешь список дочерних терминов.

ЗЫ: Если это на фронтенде, то вешать надо на 2 хука - wp_ajax_{your_action} и wp_ajax_nopriv_{your_action}