Игорь Воротнёв

SELECT SQL_CALC_FOUND_ROWS p.product_id
FROM product_to_category p2c 
LEFT JOIN product p ON (p2c.product_id = p.product_id)  
WHERE p2c.category_id = '66'

Вернет product_ids.
Дополнительным запросом
SELECT FOUND_ROWS()
Можно получить количество строк. Запрос будет быстрым, так что таких 2 запроса это не то же самое, что 2 запроса с джоинами. Впрочем, первый запрос с SQL_CALC_FOUND_ROWS может быть медленнее чем 2 запроса - все зависит от конкретной структуры данных, индексов.

ЗЫ: Запрос по памяти писал, подходящих данных для тестирования нет, поэтому может придется покрутить.
ЗЗЫ: А вообще на тему SQL_CALC_FOUND_ROWS холивары годами идут. По производительности есть вопросы и много "если". Да и MySQL вроде как его потихоньку депрекейтит. Впрочем, так или иначе - это инструмент. Сами решайте, имеет ли смысл использовать его в вашем конкретном случае.

Cardinality характеризует уникальность данных. Высокая кардинальность - уникальные данные, низкая кардинальность - повторяющиеся данные. Например, в таблице customers имеем колонки:

• gender - высокоповторяющиеся данные, низкая кардинальность
  
• city - данные повторяются, но уже не так часто - нормальная кардинальность
  
• phone - данные уникальны, высокая кардинальность
  

Как кардинальность может слететь - впервые слышу. Это характеристика данных по их уникальности, а не индекс какой-нибудь. Она не слетает.

Впрочем, иногда под кардинальностью (скорее ошибочно) подразумевают кардинальные отношения между таблицами (1:1, 1:n, n:n). В данном случае тогда речь может идти о слетевших связях (foreign keys слетевшие в результате некорректного импорта с переопределением autoincrements).

SHOW TABLES FROM database_name прекрасно работает когда база не выбрана. Здесь мы показываем таблицы в базе, а не в $db_table. Исходя из вашего нейминга, вы просите таблицу показать ее таблицы, что абсурдно само по себе. Обращайтесь к базе. Или, если вы базу предварительно уже выбрали, то достаточно SHOW TABLES.

Далее, для SELECT * FROM table_name уже сначала нужно выбрать базу данных (которую вы опрашивали на предмет таблиц в первом запросе), или же обращаться к таблице в формате database_name.table_name.

Ну и, вместо того чтобы делать выборку всех строк со всеми колонками, спросите сразу SELECT COUNT(*) FROM database_name.table_name.

Еще проще и быстрее это сделать с помощью такого запроса:

SELECT table_name, table_rows
FROM INFORMATION_SCHEMA.TABLES
WHERE TABLE_SCHEMA = 'your_database_name';

Результат этого запроса:

+-----------------------+------------+
| table_name            | table_rows |
+-----------------------+------------+
| wp_terms              |         10 |
| wp_yoast_seo_meta     |         61 |
| wp_yoast_seo_links    |         33 |
| wp_commentmeta        |          0 |
| wp_term_taxonomy      |         10 |
| wp_ewwwio_queue       |        352 |
| wp_usermeta           |        114 |
| wp_options            |        281 |
| wp_users              |          5 |
| wp_term_relationships |         49 |
| wp_ewwwio_images      |       1048 |
| wp_links              |          0 |
| wp_postmeta           |      21408 |
| wp_termmeta           |          0 |
| wp_comments           |          0 |
| wp_posts              |        738 |
+-----------------------+------------+

Единственное, что нужно учесть - если таблицы у вас InnoDB, то данные цифры будут более-менее точными, но не совсем. В силу механизмов оптимизации. Так что если нужно "приблизительно" понимать - используйте данный метод. Если нужно с точностью до одной строки - тогда COUNT.

Ну и еще можно сделать SHOW TABLE STATUS, находять в выбранной базе данных. Точность подсчета количества строк на InnoDB такая же, как и предыдущем методе, но зато здесь будет еще много полезной информации. Например - avg_row_length, data_length, index_length и другое.

Посмотрите в сторону процессинга на PHP с помощью рекурсии. Для МЛМ-матриц рекурсии – самое оно. Глядишь, и код перестанет так сильно пахнуть.

Вариант 1: Вместо MySQL используйте Redis.
Вариант 2: Продолжайте использовать MySQL, но добавьте кеш в Memcached / Redis.

Если вопрос поставлен таким образом - то current stable, то есть PHP 7.2 и MariaDB 10.2.
Главное - убедиться, что ваш код работает с ними как положено.

Composite Primary Key?