Если сборка осуществляется прямо или опосредованно webpack'ом, то нужно проверить, подключен ли webpack eslint plugin:
https://webpack.js.org/plugins/eslint-webpack-plugin/, в опции ему надо передать extentions: ['js', 'vue']
Во всяких "инструментах", которые готовят конфиг вебпака отдельно (vue cli и прочие) это может быть сделано в местах типа configureWebpack или chainWebpack:
https://cli.vuejs.org/ru/guide/webpack.html , в них во всех жто делается очень похоже.
Если используется vite, то я лично не пробовал, но все выглядит аналогично, ставим плагин и прописываем его в конфиге:
https://www.npmjs.com/package/vite-plugin-eslint