Fixid

Режим модема в телефоне использует свои настройки DHCP. Надо смотреть раздел Подключенные устройства, там будет указан актуальный адрес

Если очень упрощенно с кучей допущений.
Модуль знает протокол связи
1 вариант:
Говоришь модулю найти все сети, он начинает слушать эфир и отдает список доступных сетей
2 вариант:
Говоришь модулю подключиться к определенной сети, вот ее имя и пароль. Модуль начинает орать в пространство и звать сеть по имени пока она не откликнется, если откликнулась то говорит пароль и т.д.

У каждого модуля есть свой протокол общения, например он может быть связан с arduino через com порт. Arduino через порт загружает команду, в ответ получает данные.
Например:
connect <имя сети> <пароль> - запрос соединения
ok - ответ модуля что соединение создано

Если хочется быстро и не вникая, то arduino + SIM900. Есть полностью готовый код и схемы

Тут больше проблемы коммуникации arduino и аппарата. Возможно кто то уже такое реализовал для вашей модели, ищите

Так бывает и обычно это норма.

Если все так серьезно, то обычно выбирают С и пишут закрытую кастомную прошивку. Обычно берут что то максимально близкое к железу (С/asm) с возможностью сборки в .HEX
https://geektimes.ru/post/241842/

Хотя и на lua/Arduino IDE можно добиться стабильной работы.

Покупаете Ethernet шилд (5-20$), на компе поднимаете web server и с Arduino отправляете get запрос. Это самый простой в реализации, но не самый хороший вариант

mqtt сервер