// отвяжемся от ангуляра что бы оперировать чисто JS-ом
var a = $scope.emails;
var b = dbInfo.emails;
var diff = a.reduce(function (result, email) {
if (-1 === b.indexOf(email)) {
result.push(email);
}
return result;
}, []);
if (diff.length === 0) {
// ничего не поменялось
} else {
// что-то поменялось
}