Данная проблема давно известна, и именно ваша попытка ускорить сайт к ней и привела - Contact form 7 конфликтует с различными плагинами, ускоряющими сайт за счет кеширования и других вещей. Посмотрите
на этот ответ на SO, возможно, что он поможет вам.
В общем же суть такова, что вам нужно отключить кеширование для CF7, а конкретнее -
для функции (скрипта, ее содержащего) wpcf7OnloadRefill(). По крайней мере, на тот момент это было связанно именно с ней. Так или иначе, ваша задача - это определить, что именно в текущей версии плагина стоит указать как некешируемое.