Дополню предыдущий ответ несколькими замечаниями.
Во-первых, сам запрос
SELECT m.* FROM genre g, music_genre mg, music m
WHERE g.name = 'trance' AND mg.genre_id=g.id AND m.id=mg.music_id
Во-вторых, никаких mysql_query,
только PDO. Код должен выглядеть так:
$sql = "SELECT m.* FROM genre g, music_genre mg, music m
WHERE g.name = ? AND mg.genre_id=g.id AND m.id=mg.music_id";
$stmt = $pdo->prepare($sql);
$stmt->execute([$search]);
$allmusic = $stmt->fetchAll();
В-третьих, обе колонки в music_genre должны быть проиндексированы. или даже так - два индекса, один из которых "music_id, genre_id", а второй - "genre_id, music_id"
Ну и на genre.name тоже можно повесить, уникальный
