Вадим Григорец смотря на чем Ваш сайт написан или что за CMS. Нужно либо в админке в настройках ссылок сайта поковырятся, хотя обычно такие проблемы связаны с настройками ЧПУ в .htaccess(
mod_rewrite). Может этот файл забыли перенести или у хостера запрещен пользовательский .htaccess и Ваш файл с переносом сайта не записался или не все директивы из него правильно работают.
Они обещают бесплатно помогать с переносом сайтов? Тогда решайте проблему с поддержкой хостинга. Нормальные хостеры переносят к себе сайты так, что все работает.
Движок на PHP после переезда на новый ХОСТИНГ начал выдавать ОШИБКУ, вот я и подумал, что очень даже подходит.
А какая версия PHP была у старого хостера и какая у нового? Может у нового хостера по умолчанию версия php не подходящая для Вашего проекта.