Почему порой зависает ввод с клавиатуры?

Очень похоже на косяки именно аппаратного соединения. Шалит физически USB, либо обработка USB чипсетом.

1. Если есть разгон процессора, особенно по шине - попробуйте снизить либо убрать его полностью
   
2. Отключите физически все устройства от компьютера, продуйте порты от пыли
   
3. Неисправность самой клавиатуры никто не отменял. Возьмите у друга на денек потестить заведомо рабочую
   

Написать функцию, которая принимает строку и выводит статистику о ней: количество букв, количество цифр и количество других знаков?

А теперь добавьте в строку не-латинские буквы (кирилические, например) =)

Как использовать методы в методах класса и обработчики событий в методах класса?

Влад,

this.mylink.addEventListener('click', this.handlerClick.bind(this));

Почему babel + gulp пытается подключить скрипты (полифиллы) через require?

Я не уверен, но попробуйте в конфиге бабела указать браузерную платформу. esnext, например

Как переставить элементы массива из конца в начало?

Мне кажется, этот сайт не место для решения обучающих задач.

Как сделать поиск по нескольким словам в строке?

Mesuti, можете поиграться с регулярками :)
(\w+) с глобальным флагом должен дать из строки массив только слов, без дополнительных знаков. Приводите оба массива к одному регистру и ищите соответствия.

Почему не работает скрипт в игре?

dmitry-toster, иногда приходится так писать на Typescript, когда интерфейсы криво написаны

Как создать предзагрузку фотографий в моем коде?

Не сразу понял. Я бы сделал такой слайдер не бэкграундом, а спозиционировал снизу с помощью z-index.
В вашем случае поможет техника спрайтов. Полностью в гугле "css sprites".
Кратко: объединяете все картинки в одну, для каждого слайда выбираете нужную с помощью свойства background-position. В вашем случае даже можно обойтись одним для всех слайдов и сделать приятный transition для смены.