Антон

Попробуйте полный путь:

$img_png = $_SERVER['DOCUMENT_ROOT'].'/img/test.png';

Что такое GET параметр

<meta name="viewport" content="width=device-width">

JSON.parse()?

Какая связь одного с другим?
Как хотите, так и пишите.

Не временами, а при сброшеном кэше. Откладывайте инициализацию карусели до появления ваших картинок

Добавлять класс .active
toggleClass метод, раз уж на то пошло

$(".callback-form").submit(function(){
		var form = $(this);
		var error = false;
		form.find('input').each( function(){
			if ($(this).val() == '') {
				$(this).addClass('error');
				error = true;
			}
		});
		if (!error) {
			var data = form.serialize();
			$.ajax({
			   type: 'POST',
			   url: 'mail.php',
			   dataType: 'json',
			   data: data,
		       beforeSend: function(data) {
		            form.find('input[type="submit"]').attr('disabled', 'disabled');
		          },
		       success: function(data){
		        if(data.result='success') {
                                  $(form).html(data.text);
				setTimeout(function() {
					$('#modal').modal('hide');
					window.location.reload();
				}, 3000)
                           }
		         },
		       error: function (xhr, ajaxOptions, thrownError) {
		            console.error(xhr.status);
		            console.error(thrownError);
		         },
		       complete: function(data) {
		            form.find('input[type="submit"]').prop('disabled', false);

		         }

			     });
		}
		return false;
	});

В php в условии успешной отправки

die(json_encode(array('result' => 'success', 'text' = 'спасибо бла бла бла')));

Знания и опыт нужны. Сейчас у вас только мотивация на старте, которой может и не хватить на первые два пункта, и будет как в меме про JS - "лучше буду проституткой".
Напутствие Ленина вам в помощь, а дальше, по мере роста, сами поймете, как и что сделать.

Ну и, не полгода, а изрядно больше, исходя из контекста всего того, что тут написано.

Взять offset от top до нужного блока. Измерить высоту блоку, поделить на два, прибавить к оффсет топу

Генерить уникальные ссылки, при регистрации проверять ее, записывать в поле, что по этой ссылке уже зарегились.
\Первое что в голову пришло