Нажмите :)

Насчет формы - Тык - не знаю, оно или нет.
Рекапча: зачем? Я когда-то брал гугл капчу (на гите есть пакет), и все что нужно было сделать: добавить в валидацию при посте (ну и в форме ее отобразить :D) вроде она
Свое писать можно, но будет больше заморочек, решения ларки вполне адекватное.
А если вся проблема в восстановление пароля - напишите свой сервис, в чем проблема?:)

В наше время можно связать все что угодно.
Вуе имеет смысл использовать при апи на сервере.
Пишите апи на битриксе и пишите фронт на вуе

Переход на WordPress?
UPD:
Вы серьезно подписываетесь на этот вопрос?
Окей, самый простой:
Route::post('/search', 'Controller@method'); // можно get
В методе News::where('title', 'LIKE', '%' . $request->query . '%')->get();
Делов то.
Не верьте, что like - это плохо.
P.s: вы ж боты, да?)