Как сформировать условие?

BuBux, Вы сильно усложняет простые вещи. Сделайте в вашей форме метод get. Уберите ссылку. Оставьте кнопку submit. И все будет работать как Вы хотите

Как в зависимости от выбора в select изменять выводимые значения в другом select?

Есть сомнения, проверьте. var_dump(), например. Разделите логику и вью. Посмотрите, что приходит из базы.
Посмотрите, что будет с Вашим кодом когда ничего не приходит.

ЗЫ и перестаньте пихать переменные напрямую в запрос. Посмотрите filter_var()

PSS

date("d.m.Y"); // Формат даты делаем такой же как и в базе данных

Вы уверены, что у вас с такой формат даты в БД?

Проблема при декодировании json?

Попробуйте var_dump($session)

Как правильно добавить данные в таблицу AJAX?

Посмотрите тут

Как получить доступ к window из chrome extansion?

Пожалуйста

Как получить доступ к window из chrome extansion?

Elvis, посмотрите тут

Почему когда я хочу задать значение переменной ничего не работает?

4sadly,

это добавит всем элементам с классом nosub другой класс?
Я смогу же им просто visible/display поменять?

Да.
.style.display = "none";
Я предпочитаю делать через добавление/удаление классов

Почему когда я хочу задать значение переменной ничего не работает?

Возможно я что-то не уловил, но зачем создавать дополнительную переменную?

for(var i=0; i<document.getElementsByClassName('nosub').length; i++){
document.getElementsByClassName('nosub')[i].classList.add('yourClass');
}

Как адаптировать данный код под мой html?

Mak_Pet, пожалуйста.
ЗЫ если, не трудно, отметьте как решение

Как адаптировать данный код под мой html?

Mak_Pet, это то что Вы хотели получить, в итоге?

$(function() {
		// create an empty variable
		var selectedClass = "";
		// call function when item is clicked
		$(".lastest-work__nav-link").click(function(){
			// assigns class to selected item
			selectedClass = $(this).attr("data-rel");
			// hide all portfolio items
			$(".demonstration-lastest-work .demonstration-lastest-work__inner").fadeOut(300);
			// show selected category
			if(selectedClass==='all'){
				$(".demonstration-lastest-work__inner").delay(300).fadeIn(300);
			} else {
				$("." + selectedClass).delay(300).fadeIn(300);
			}
		});
	});

При отправке пустого input'a должен появляться текст в input'e, как реализовать?

А стоит ли, устанавливать текст в инпут?
Ведь, при повторном нажатии на сабмит, инпут пройдет валидацию и данные(Аля "введите имя") улетят на сервер.
Оно Вам надо?
Поищите js custom form validation. Вариантов указать пользователю на его ошибку множество. Начиная от красного бордера до предупреждений о 'каре админской' в лейбл.
То что вы хотите сделать, потенциально, вредно.

Как получить значение массива из цикла?

Массивы в js передаются by reference. Поэтому, чтобы не изменить эталонный, начальный массив сначала создайте его копию.
slice()

Как в td вывести нужное значение из localStorage?

А как вы передаёте defaultOption на сервер?

Как при открытии div закрыть другие?

myaurizio, все ещё не работает???
Можете показать ошибку в консоли?

Как адаптировать данный код под мой html?

Mak_Pet, посмотрите тут

Как при открытии div закрыть другие?

myaurizio, покажите, пожалуйста, Ваш html. И скажите, что нужно прятать/показывать.

Почему DOMContentLoaded не отрабатывает и как это исправить?

<script type="text/javascript">
У Вас, в этой строке, указан id. Зачем?

Почему background-image: url применяется только для body?

Ankhena, конечно нет. Но есть ещё и правила хорошего тона в написании кода. Думаю Вы со мной согласитесь.
Ваш пример есть исключение лишь подтверждающее правило

Как сделать обработчик формы?

<?php
if (isset($_POST['name'])) ...

Между этих двух строк напишите
var_dump($_POST);
Посмотрите на результат. Если чего-то не хватает, напишите сюда.

Почему background-image: url применяется только для body?

amatjkay, почитайте про установку размеров в CSS. Про единицы измерения.
Height ÷ vh
Width ÷ vw...
ЗЫ. Современные браузеры позволяют делать много ошибок, дополняя и исправляя их.
Но злоупотреблять этим не красиво. Вдруг, после Вас, этот код, кто-то ещё прочитать захочет.