Вопрос на самом деле не простой, речь не о программировании а об идеологии.
У тебя два варианта - твое приложение реализует собственно браузер (примерно так работает electron приложения) либо какими то способами скрывается основное (в твоем случае консольное) окно приложения.
Идеологически скрывать приложение некрасиво, как минимум пользователь должен иметь возможность его остановить, закрыв связанное с ним окно (в реальности закрытие окна не является закрытием приложения но это ожидаемое поведение для пользователя), когда то было нормой, скрываемые окна для приложения 'сворачивали в системный трей', т.е. окно скрывается но в системный трей (у часов) добавляется иконка с меню приложения.
Теперь по факту. Скрыть свою системную консоль приложение не сможет, как в windows так и в linux (при наличии прав конечно сможет, но речь о типовых ситуациях) но можно запустить приложение изначально указав его сокрытым. Для каждой ОС свои способы.
На python можно запустить любое приложение сокрытым, т.е. твое приложение запускает само себя с определенным ключом (и первый экземпляр завершает работу), чтобы исключить зацикливание, следующим образом:
https://stackoverflow.com/questions/2319838/open-a...
upd. погугли pythonw.exe и .pyw extention, такой тип приложений будет запускаться без консоли но как я понял это очень устаревший подход и может не поддерживаться.