Как осуществить сортировку в списке?

Не уверен, да, косяк. Переписал ответ.

Как обратиться к ключам и значениям объекта через переменную?

boga-net, ну, categories[checkedCategory]. Что, не то? А ЧТО ДОЛЖНО БЫТЬ? Типа - вот такая переменная, с вот таким значением.

Как обратиться к ключам и значениям объекта через переменную?

Спасибо, что дочитали до конца

Не дочитал, и читать не собираюсь - пока не покажете пример в песочнице. А то знаете ли, догадываться о всех сделанных вами ошибках, помимо тех, что (возможно) описаны в тексте, интереса нет никакого.

Как передать data-attribute кнопки, сделав его классом для блока?

Иван Симонов, не тот пресет использован, надо es2015-loose. А вообще - всё не так делаете. "Использовал babel..." - то, что вы использовали, это так, поиграться для получения представления о том, что babel делает. Хотите использовать его по-настоящему - читайте документацию, разбирайтесь, что и как.

Как передать data-attribute кнопки, сделав его классом для блока?

Иван Симонов, babel.

Как передать элемент в @click?

Владимир Бандуристов, вместо target используйте currentTarget.

Как передать data-attribute кнопки, сделав его классом для блока?

Иван Симонов,

Подскажите, как сделать чтобы первоначальный класс .block не удалялся?

А с чего вы взяли, что он удаляется?

и этот код можете объяснить

Это получение списка классов, которых после нажатия текущей кнопки у блоков быть не должно. Поскольку querySelectorAll возвращает NodeList, у которого нет метода map, сначала его надо превратить в массив, затем из каждой кнопки достаётся значение data-class, и наконец отбрасывается значение, соответствующее текущей кнопке.

Каким образом лучше сделать данный слайд во Vue.js?

Честно говоря, я в недоумении - то, что вы показали, это никакие не слайды, больше похоже на диалоговые окна (то, что одно окно открывается после действия в другом, не делает их слайдами). То есть, речь изначально шла не о том.

Мне кажется, вам стоит задать новый вопрос, где подробно объяснить, что именно вам надо.

Каким образом лучше сделать данный слайд во Vue.js?

Честно говоря, ничего не понял. Можно как-то пояснить?

Каким образом лучше сделать данный слайд во Vue.js?

Есть. Можно добавить к объекту слайда свойство, содержащее нужные стили, и применять их, типа так.

Каким образом лучше сделать данный слайд во Vue.js?

Э-э-э, нет. Не надо кнопки никуда передавать как часть контента. Кнопки должен создавать сам компонент - в зависимости от того, какой слайд показывается. И зашивать не надо слайды в компонент - пусть это будет параметр. Типа так.

Каким образом лучше сделать данный слайд во Vue.js?

По картинкам диагноз ставить не буду, извините - выкладывайте код в песочницу.

Есть ли способ извлечь определённые данные из строки?

Вариант раз:

var div = document.createElement('div');
div.innerHTML = str;
var arr = [].map.call(div.children, function(n) { return n.innerText; });

Вариант два - на что и как заменить const и стрелочную функцию вы уже знаете.

Вариант три:

var arr = [];
var elems = document.createRange().createContextualFragment(str).children;
for (var i = 0; i < elems.length; i++) {
  arr.push(elems[i].innerHTML);
}

Есть 2 input, как запретить ввод числа во второй, значение которого меньше первого?

const lower = document.querySelector('#lower');
const upper = document.querySelector('#upper');

updateValueOnEnter(lower, val => Math.min(val, upper.value));
updateValueOnEnter(upper, val => Math.max(val, lower.value));

function updateValueOnEnter(input, f) {
  input.addEventListener('keypress', function(e) {
    if (e.keyCode === 13) {
      this.value = f(this.value);
    }
  });
}

Почему неправильно работает shouldComponentUpdate после использования setState в функции?

Vanya Huk, написал же.

Зависимость нескольких select-ов?

Aleksandr, а, это понятно - значение выбрано, зависимые списки рендерятся - а данных для них ещё нет, запрос-то асинхронный. Немного переписал демку - добавлен таймаут при назначении dependentData для имитации запроса.

Зависимость нескольких select-ов?

Aleksandr, ну, на основе тех обрывков, что вы показали, сделал небольшой примерчик (разумеется, без запросов - зависимые данные достаются из заранее приготовленных объектов, находящихся вне экземпляра vue).

Как обновить данные дочернего компонента?

Игорь Безлепкин, однако. Не знал, что vue-resource внутри себя выполняет привязку контекста.

Прошу прощенья, что усомнился в вашей компетентности.

Как обновить данные дочернего компонента?

Игорь Безлепкин, что значит "работает"? Не может показанная вами конструкция работать. Не согласны? - если выложите рабочий пример в песочницу, буду сильно удивлён.

Как обновить данные дочернего компонента?

Игорь Безлепкин,

function (response) {
    var data = response.body
    if (data.country > 0) {
        this.form.country = data.country
    }
    ...

У вас серьёзные пробелы в знаниях javascript'а - самых-самых основ. Теряете контекст - не будет здесь this являться текущим экземпляром vue, не будет. Погуглите "стрелочные функции".