Как через API AmoCRM вытянуть отфильтрованные данные?

revukvr, page тоже post-параметр

Как через API AmoCRM вытянуть отфильтрованные данные?

revukvr, Это не задокументированное апи, его не найти )
Попробуй добавить заголовок X-Requested-With: XMLHttpRequest

Как вытащить телефон админа аккаунта в AMO CRM?

dev123, пишите проверку на заполненность полей в колбэке onSave.

onSave: function () {
    if(какое-то условие){
        return false; // Отмена установки
    }
    return true; // Установка
}

Как данные из формы PHP заполнить готовый шаблон в pdf?

Артем Будин, в нем же и можно генерить pdf из документа