Скорее всего twig закеширован - используйте команду в директории с проектом
php bin\console cache:clear
Или удалите директорию var/cache

В настоящий момент этот функционал доступен только партерам AmoCRM.
Чтобы фильтровать по пользовательскому полю можно использовать Api v3

GET https://<subdomain>.amocrm.ru/api/v3/contacts
Параметры:

• filter[#CODE#] - где #CODE# это либо код поля (name, created_at и тп.), либо id пользовательского поля
  
• fields - поля которые надо возвращать (company_uid,status_id,closed_at,responsible_user_id, либо id пользовательского поля)
  
• with - добавит к выдаче сделки контакты и компании - доступные значения contacts,leads,companies,customers
  

В вашем случае запрос будет выглядеть как то так
/api/v3/contacts?filter[266363]=test@test.test

Вы указываете дату и время меньше той которая была предыдущий раз. Получите эту сделку по апи и посмотрите какое значение храниться в параметре updated_at - вам надо передавать большее значение

/api/v4/account?with=task_types

Как уже вам ответили, для редактирования сделки нужен метод PATCH, а не POST
С отвечающим на счет эндпоинта не согласен, для изменения конкретной сделки у вас все верно
Сейчас лучше использовать параметр tags_to_add, а не _embedded['tags']

$tag = "Пример тега";
			
$response = $amoClient('PATCH', "/api/v4/leads/{$response['content'][0]['id']}", [
    [
        'tags_to_add' => [
           ['name' => $tag]
        ]
    ]
]);