Напрашивается удалённый доступ, но для этого его надо включить на десктопе (и включить вход без пароля), что вслепую сделать нереально.
Реально. Но для этого нужно пользоваться только клавиатурой (без мыши), и нужен другой компьютер (например, где-нибудь в другом месте) с такой же ОС, чтобы на нём отработать и записать (на бумажку) всю последовательность нажатий.
А так напрашивается не RDP, а вовсе даже VNC, но его вслепую поставить будет гораздо сложнее, т.к. потребуется установка сторонней программы.
Другой вариант - USB-карта видеозахвата для ноутбука
https://www.ozon.ru/product/ustroystvo-videozahvat...
и ещё какой-нибудь переходник с VGA на композитный выход или на S-Video.
Хотя за эти деньги уже можно поискать на Авито старый 17" монитор. И после решения проблемы продать там же за ту же цену или на 100 рублей дешевле.