Если на сайтах не настроены политики CORS требуемым образом (разрешение на получение данных со сторонних доменов), то js-ом вы не сможете запросить с них информацию.
Вам необходимо делать на своём сайте бекенд в роли прокси, то есть, ваш сайт делает запрос на ваш бекенд с поисковой фразой. А уже сервис бекенда обращается к разным сайтам, парсит, склеивает и что там ещё надо делает и отдаёт обратно ответ на ваш фронт
