Все очень индивидуально.
1. Копируется все.
2. Исправляется адрес сайта в hosts локального компьютера админа. Проверяется.
3. Минимизируется запись (или вовсе отключается запись в БД).
4. Копируется БД еще раз.
5. Меняется IP в DNS.
Но в этом варианте мы не знаем когда пользователи перейдут со старого сайта на новый.
Более серьезный вариант - функционирует 2 варианта сайта одновременно.
Например,
http://new.мойсайт.ру и просто
http://мойсайт.ру.
С
http://мойсайт.ру делается переадресация на новый сайт.
Затем применяются DNS.
Через несколько дней, когда DNS прочухаются гарантировано у всех пользователей (можно по посещаемости посмотреть) можно будет убивать старый сайт.
И делаешь обратный редирект с
http://new.мойсайт.ру на
http://мойсайт.ру.
Третий вариант:
Сайт изначально проектируется для работы с учетом сбоев серверов, CDN-штучками и т.п. Тогда отключение сервера ничему не грозит вообще.
Репликацию БД для первого и второго варианта не предлагаю - слишком заморочено.