описываешь событие сабмита для этой формы,в описании, в начале отключаешь все события по умолчанию с помощь preventDefault(), получаешь данные с формы (например с помощью сериализации), потом вызываешь ajax запрос, в параметрах указываешь url- файл обработчик, method: POST, data - это данные с формы (допустим json или строка от сериализации) , success - функции которая выполняется в случае успеха выполнения запроса (в параметрах этой функции указывается аргумент, это текст ответа) и error - функция которая выполняется в случае ошибки запроса.