Ничего не указывай в action, тогда данные будут отправлены на тот-же адрес, на котором открыта форма. Другой вариант отправить с помощью ajax, но где-то в js придется указать адрес отправки.
Владислав Долмат, в этом случае код, который будет обрабатывать форму, виден не будет - вся php-шная часть выполнится на сервере и пользователю будет возвращен результат. При правильном написании разница между двумя страницами будет только в наличии текста типа "сообщение успешно отправлено".
Владислав Долмат, это тоже можно реализовать, достаточно спрятать ваш код внутри iframe и спрятать сам iframe как-нибудь или генерировать ситуативно - хоть ваш код и будет внутри фрейма, ему ни что не мешает напрямую работать с родительским окном. Чтобы еще сильнее все запутать, можно также просто не использовать form, а обойтись блоками с атрибутом contenteditable="true"