Никакой магии за вас гит не сделает. Нужно самому все настроить и определить процессы разработки.
Например.
Основная копия репы расположена на гихабе (гитлабе, битбакете, у себя на сервере).
Здесь ветка мастер защищена от пушей и коммитов. Разрешены допустим пуши и коммиты только для мейнтейнера.
Продакшн сайт лежит под гитом, и тянет код пуллом из мастера из основной копии.
Дополнительно разворачивается dev.site.ru. Туда также клонируется репа, переключается на dev ветку. (git checkout dev)
Разраб пилит там сайт, коммитит, пушит в dev ветку основного репо. Мейнтейнер проверяет, мержит, пуллит на продакшн.
База разворачивается отдельная для dev и прод.
Для версионирования структуры базы используются миграции. Для наполнения данными - сиды.
Т.е. для применения последних наработок сначала пуллится код из репы, потом запускаются миграции и сиды.
Ну и еще не обязательно вести разработку прямо на дев сервере.
Можно клонировать репу себе на комп, сделать что нужно, запушить в дев ветку, потом пульнуть эту ветку на dev сервер для тестирования. Потом смержить и залить на прод.
