Замыкание, передаваемое в метод "load" модели или в метод "with" построителя запросов, принимает на вход Illuminate\Database\Eloquent\Relations\Relation (в данном случае, возможно HasMany или BelongsToMany). То есть, это тоже самое, как если бы вы написали:
$clinic->doctors()->each(function ($doctor) {
$doctor->append('custom_atr');
})
Что не привело бы ни к какому результату, в виду того факта, что в Eloquent нет IdentityMap, который позволил бы связать записи вытаскиваемые при обходе each() c записями находящимися в отношении.
А вот что действительно поможет:
$clinic = Clinic::with('doctors')->find(1);
$clinic->doctors->each(function ($doctor) {
$doctor->append('custom_atr');
});
Здесь мы делаем итерации над уже загруженными докторами.
Вообще, в данном конкретном случае, когда нас интересует одна конкретная клиника, даже `with` - лишний шаг, потому, что на следующей строке доктора все равно будут лениво загружены. Но для ясности можно и оставить.