<div class="carousel-item night-bg"></div>
<div class="carousel-item day-bg active"></div>
$('.carousel').on('slide.bs.carousel', function(event) {
var slideIndex = event.to, // индекс слайда, к которому переходим
activeSlide = $('.slide').eq(slideIndex), // активный слайд
myOuterElem = $('.my-outer-element'); // некий элемент вне карусели
if(activeSlide.hasClass('night-bg')) {
myOuterElem.addClass('my-new-class'); // добавляем класс к внешнему элементу если ночь
} else
if(activeSlide.hasClass('day-bg')) {
myOuterElem.removeClass('my-new-class'); // убираем класс у внешнего элемента если день
}
});