Подскажите пожалуйста, как сделать так чтобы на моей странице появлялись данные со стороннего сайта и к ним применялись мои стили, а далее эти блоки шли по порядку? API сайта имеются.
Все сугубо индивидуально... читайте документацию этого АПИ и все...
Наверняка, найдется какой-нибудь get метод, который при обращении возвращает список чего-то там....
И может быть нужно еще авторизоваться. Авторизация тоже может быть разной... например, jwt токен... и т.д.