если я правильно понял задумку, то вот так должно сработать. код практически эквивалентен вашему. вторая функция срабатывает при уводе курсора с меню
$(document).ready(function () {
$('#menu .dropdown >.dropdown-menu').on(
{
mouseenter: function () {
$("#menu .dropdown .dropdown-toggle").after('<div id="menu_background"></div>');
},
mouseout: function () {
$("#menu_background").remove();
}
}
);
});
если этот код тоже не работает, то объяснение вижу только одно: у вас на странице несколько элементов #menu_background. а поиск по id ведется так, что находится первый попавшийся. id обязательно должен быть уникальным на странице. как вариант, можно воспользоваться классом, вместо id