будет ли выполнение параллельным в первом методе ?
В вашем коде параллельное выполнение осуществляется за счет вызовов:
const promise1 = new Promise(...)
const promise2 = new Promise(...)
так как Promise начинают выполнение функции экзекутора сразу после создания.
Но библиотеки основанные на Promise так не работают, они обычно возвращают Promise на определенный вызов:
const someCall = (...someArgs) => new Promise((resolve, reject) => { /* ... */ });
В таком случае:
// последовательный вызов
const [result1, result2] = [await someCall(), await someOtherCall()];
// параллельный вызов
const [result1, result2] = Promise.all([someCall(), someOtherCall()]);