WebSQL, увы, стал deprecated еще до того как вышел из черновика. Браузеры тут же кинулись встраивать SQLite, а Oracle испугался и через Mozilla продавил, что браузерное хранилище должно быть key-value. Кое-где (скажем откровенно, в Chromium-based браузерах) до сих пор работает, но когда отвалится -- неизвестно.
У IndexedDB есть одно ярковыраженное преимущество перед localStorage: по умолчанию доступное место заметно больше. Остальное по вкусу, тем более что есть фасадные надстройки над всеми тремя типа
localForage.
Если необходимо хранить статичные данные для браузерного расширения
Если это пользовательские настройки, то альтернатив
chrome.storage нету. Если это данные необходимые для работу самому расширению (скажем, карты уровней для игры), то проще и логичнее держать это в, например, JSON.
