Попробуйте запустить так:
browser-sync start --server "название папки" --files "название папки"
В вашем случае browser-sync следит за всеми файлами на том уровне, где вы его запустили.
Оффтоп: Если у Вас Windows можете использовать данный
.bat файл для запуска. Вставьте его в деректорию на уровне index.html и запустите.