Стоит задача проверить сайт во всех браузерах начиная с IE 11 примерно, на всех разрешениях экранов, смартфонах.
1. Есть ли какой-то чек-лист, что искать и тестировать на сайте по функционалу, логике и вёрстке? Что бы ничего не упустить.
2. Какие инструменты в этом могут помочь?
По верстке вам уже накидали ссылок.
Что касается функционала, то на небольших проектиках все проще сделать вручную. Да, возможно, что-то упустишь, придется допиливать. Но разворачивать и настраивать полноценное тестирование js-логики на каждый вшивый сайтик — нафиг надо (причём как и вам тратить время, так и вашему заказчику оплачивать это время).