Судя по наличию слова "спарсить", всё-таки имеется ввиду запрос URL из python для последующего разбора. Как получить URL запроса, который только что запросил? Думаю, сохранить в переменную перед запросом и прочитать из переменной сразу после. Если используется scrapy или другие библиотеки для обхода интернета - тогда подробности в студию.
Если же действительно вопрос состоит в получении URL из адресной строки браузера, то я бы в первую очередь смотрел на browser api (к которому наверняка можно достучаться аналогично тому, как это делает Selenium) или на расширения (которые не на python, а на js) - с последующей отправкой этого url на сервер.