Можно ли вычислить это математическое выражение с суммой без использования цикла средствами Python?

Question

[Алексей Полоз]

Есть математическое выражение из задачника по MatLab:

Можно ли вычислить это математическое выражение с суммой без использования цикла средствами Python? Видел метод с использованием векторов, но реализовать не получилось, так как в этой формуле также используется размещение.

Comments

[Дмитрий]

В этом выражении фигурирует не размещение, а сочетание. Думаю, можно - вот только нет ли опечтаки в знаменателе: Х никак не задан условием - или это параметр? Он фиксирован или это переменная (аргумент), и сумма должна быть функцией от Х?..
Объясните, пожалуйста, роль Х в выражении.

П.С.: к тому же s не существует при Х = k. А если Х тоже целые, то выражение и вовсе имеет решение лишь при |X| > |n|. Что ещё более странно - поэтому повторюсь: нет ли там опечатки или по условию Х всё же каким-то образом оговорен?

Answer 1

[Владимир Олохтонов]

UPD: дальнейшие рассуждения ошибочны.

А что такое число сочетаний из отрицательного числа?

C_{n}^{k} = n!/(n-k)!k!, факториал определён только для натуральных чисел и нуля, а у вас в выражении k пробегает от -n до n, а значит при любых n кроме 0, это выражение не определено.

Отсюда можно сделать вывод, что оно определено только при n=0, тогда:

sum_{k=-n}^{n}[((-1)^{n-k} * C_{n}^{k})/(x-k)] = (-1^0 * (0!*0!/0!)/x = (1 * 1)/x = 1/x

Comments

[Дмитрий]

число сочетаний из отрицательного числа

- Откуда там взяться отрицатенльным?

Если не задавать по условию n<0, всё должно быть хорошо: 2n не будет отрицательным, и n+k (для k є Z U k є [-n, n]) - тоже.

[Владимир Олохтонов]

Согласен, сморозил глупость :)

[Дмитрий]

Владимир Олохтонов, да и я - удивительно, что гласные с согласными в словах не поперепутывал, в три-то часа ночи :) ...а Вас - не смутило отсутствие упоминания икса в условии и налиичие в знаменателе? ..только меня?

[Владимир Олохтонов]

Дмитрий, в таких задачах обычно предполагается что это функция от двух переменных n и x.

Answer 2

[Дмитрий]

Возможно, я неверно понял вопрос (я уточнял в комментариях), но если всё воспринимать буквально, для решения такой задачи я бы использовал что-то вроде этого:

from math import factorial as fact

def sigma(n,x):
    if abs(x) in range(abs(n)+1):
        raise ValueError('check the arguments values ')
    else:
        return sum(
            [(-1)**(n-k)*fact(2*n)/fact(n+k)/fact(n-k)/(x-k)
            for k in map(lambda i: i-n, range(2*n+1))]
            )

Comments

[Дмитрий]

если совесть не позволяет так "разбрасываться" фактриалами в коде, то ...на первых порах, вместо вычисления по стандартной формуле количества сочетаний из 2n по n+k я бы предложил такой "костылик":

from itertools import combinations
combinations_count = len(list(combinations(range(2*n), n+k)))

...искать блее оптимальное решение сейчас, признаться, мне лень :)