$value != ""&& $key != "project_name" && $key != "admin_email" && $key != "form_subject"
&& - это значит
И (А ТАКЖЕ). Равнозначно AND, просто короче и более читаемо
Далее идет проверки на поля project_name, admin_email, form_subject. То есть информация оп этим полям не должна попасть в таблицу
$message .= "
" . ( ($c = !$c) ? '<tr>':'<tr style="background-color: #f8f8f8;">' ) . "
<td style='padding: 10px; border: #e9e9e9 1px solid;'><b>$key</b></td>
<td style='padding: 10px; border: #e9e9e9 1px solid;'>$value</td>
</tr>
";
То есть подразумевается, что мы не фига не знаем что там за форма. Просто знаем что там есть три поля
project_name - название проекта
admin_email - почта администратора. То есть ваша наверно.
form_subject - Тема формы.
То есть это информацию выведена в другом месте (в теме письма и заголовках и собственно куда посылаем и от кого) и тут идет пропуск ее а все остальное в табличку пишется что бы потом отослать.
Ни знаю что популярного в этом скрипте. Я бы рекомендовал почитать про почту. Тема на самом деле обширная довольно.
Для php есть отличная библиотека (популярный скрипт гулящий по сети) для почты
https://swiftmailer.symfony.com/