GraphQL это синтаксис описания запросов к API. Приложение на связке pug + node.js не нуждается в API, так как происходит серверный рендеринг.
Если все таки со страниц используются AJAX запросы, то GraphQL запрос можно отправить обычном POST запросом:
{
method: "POST"
url: "<your-server-url>/graphql",
contentType: "application/json",
data: {
query: "ANY GRAPHQL QUERY",
variables: {
x: 12
}
}
}