Если имеется ввиду запись внутри окна браузера, а не всего экрана, то можно. Сначала HTML загонятеся в SVG, затем SVG рендерится в canvas, а затем, с помощью, MediaStream Recording API, вы забираете поток с канваса в видеофайл. Только этот API не поддерживает IE. Но в принципе, можно с какой-то частотой сбрасывать данные с канваса на сервер как изображение. Таким образом у вас будет последовательность изображений. Только это все в теории.