То, что вы описали, называется "непрерывная интеграция" (continuous integration).
Есть множество сервисов, предлагающих подобную функциональность (
вот например список). Очевидно, что вы ищите сборку в облаке, один из самых популярных сервисов - Travis. Но выберите то, что больше понравится. Однако, для приватных репозиториев вряд ли получится найти бесплатное решение.
Добавлю, что такие сервисы могут не только выполнять такую работу как сборку и отправку проектов с репо на хостинг, но и поддерживают всяческие линтеры для код стандартов, а при должной настройке не дадут залить в лайв код с ошибками.
