1 - нет. push по сути своей действие выполняемое СЕРВЕРОМ
2 - без базы данных и кода, вам даже ajax-ить то не чего на таком хостинге
3 - Google Cloud Storage это унифицированное хранилище, можно сказать no-sql бд. и вообще то НЕ бесплатное
4 - я бы посоветовал посмотреть на Azure - Functions (код) и Mobile Apps (код и пушинг между прочим) - бесплатные лимиты очень даже достаточны для того что бы освоиться и набить руку и даже вполне себе использовать в продакшен для узкого круга тестеров. и еще большой вопрос по тарифам которые светят в случае успеха - МС ведет политику конкурентных тарифов (если смущает C# - не вопрос, js полностью поддерживается, и стартовая БД может быть на выбор MySql вместо MS Azure SQL)
ps
Azure Documet DB - api совместима с MongoDB если это интересно на вырост
Azure CosmosDB - поддержит все основные api (Document, Graph, SQL) и будет гига-мега-доступна-с-гарантией-быстрого-отклика, если потребуется в случае мегауспеха
а если на начальных этапах потребуется оч большое хранилище за копейки - Azure Table Storage это key-value за фантастически маленькие деньги
pps
в том числе бесплатный план просто вебхостинга Azure, дает до 10 сайтов, с общим обьемом статики до 1Gb и поддержкой всех основных серверных технологий кода - начиная от любимых МС asp.net, заканчивая php и node.js
и про все это изобилию просто море инфы на русском языке на хабре, МСДН (не только документация!), TechDays, MVA и тд:
https://www.techdays.ru/Tags?tabIndex=-1
https://habrahabr.ru/search/?q=Azure#h
https://docs.microsoft.com/ru-ru/azure/
https://msdn.microsoft.com/magazine/ee310108
https://mva.microsoft.com/training-topics/cloud_de...