<button type="button" name="display-type"
onclick="$('#shop-items').removeClass('table').addClass('notable');" value="notable"
checked="checked" data-checked="true">Плитка
</button>
1) Использовать onclick инлайн это моветон, вынесите в отдельную функцию и привяжите по евенту.
2) как верно подметил
Stalker_RED, откуда у батона взялся чекед?
3) В функции которая в п.1 добавьте аякс запрос к серверному скрипту, который будет устанавливать значение переменной сессии в тэйбл/нотэйбл, примеров работы с аяксом полный интернет, думаю найдете.