До какого-то момента можно. Но потом вы начнёте понимать, что чего-то всё-таки не хватает (начнёте ли вы с Nodejs или с React, неважно), и откроется удивительный мир fullstack-разработки, где живут как React, так и Nodejs модули и при этом считаются одним проектом.
Отвечая на ваш вопрос короче: писать сайт только на React нельзя.