Без логина даже не видно что там, Вы бы хоть описали.
Но в целом для запроса к api в php есть cUrl. Поиском найдете кучу мануалов.
В целом api это не какая-то отдельная и стандартизированная технология и api одного сайта может очень сильно отличаться от другого. Но свести можно к принципу: "сделал запрос на определенный урл, с определенными параметрами, получил определенный ответ в ожидаемом формате". Так что читать надо доки конкретного api там как правило все расписано и знать язык на котором будете писать запросы. У них я вижу есть готовые решения для js, так что может не обязательно на сервере из php запросы делать.