Возможно ли на php написать игровой сервер?
Да. Стоит ли - только при условии, что вы хотите сделать прототип на коленке. В остальном - скорее нет, чем да.
Имея клиент этой игры, мы можем написать свой сервер на php к ней или у сервера и клиента игры есть обязательная привязка по одному языку?
Клиент и Сервер могут быть на произвольных языках, все что их связывает - общий протокол взаимодействия.
Да и вообще, чем игровой сервер отличается от того, что пишут для сайтов?
Нагрузками. Для многих игровых серверов характерна высокая частота запросов при небольшом объеме данных. В случае с web серверами - меньшее количество запросов, но с большим объемом данных.