Под видео на ютубе предлагают хмтл код для вставки на страницу. Просто правильный UID подставляйте. ВК так и делает.
Например, в форме замечена ссылка на видео
https://www.youtube.com/watch?v=_GuOjXYl5ew
Выделяем из этой ссылки UID: "_GuOjXYl5ew"
Создаём iframe
<iframe width="560" height="315" src="https://www.youtube.com/embed/_GuOjXYl5ew" frameborder="0" allowfullscreen></iframe>
UPD:
Есть документация на русском
https://developers.google.com/youtube/player_param...