В Git предусмотрена система
Хуков. При наступлении выбранного события выполняется заранее заданный скрипт, в Вашем случае подойдет post-commit. Их реализация есть в большинстве Git-клиентов и серверов.
GitLab к этим возможностям добавляет собственные
хуки. Если этого недостаточно, можете попробовать
GitLab Runner.