Каким образом можно отслеживать что пользователь вводит в строку поиска на сайте?
Стоит задача узнать как пользуются пользователи поиском по сайту, а конкретно что туда вводят.
Каким образом можно это узнать?
CMS на сайте самописная, от веб-студии.
Ну вы же выдаете им результаты поиска? Вот в том методе/странице, где вы обрабатываете поиск у себя на сервере пропишите логирование поисковых запросов.
50% ответа в правильном вопросе. Остальное мануал.
Если самописная CMS то вероятно стоит внести при запросе результатов поиска тупое сохранение запроса в БД и потом делать с ними что угодно в рамках фантазии и УК.